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En mathématiques, un polynôme homogène, ou forme algébrique, est un polynôme en plusieurs indéterminées dont tous les monômes non nuls sont de même degré total. Par exemple le polynôme X 5 + 2 X 3 Y 2 + 9 X Y 4 {\displaystyle X^{5}+2X^{3}Y^{2}+9XY^{4}} est homogène de degré 5 car la somme des exposants est 5 pour chacun des monômes ; les polynômes homogènes de degré 2 sont les formes quadratiques. Les polynômes homogènes sont omniprésents en mathématiques et en physique théorique.

• Définitions

• Structure

• Formes

• Utilisation en géométrie algébrique

• Références

• Voir aussi

• Articles connexes

• Bibliographie

Soit K {\displaystyle K} un corps commutatif. Un polynôme homogène de degré d {\displaystyle d} en n {\displaystyle n} indéterminées est un polynôme de K [ X 1 , … … , X n ] {\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]} qui est somme de monômes de degré d {\displaystyle d} .

Caractérisation : un polynôme P {\displaystyle P} de K [ X 1 , … … , X n ] {\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]} est homogène de degré d {\displaystyle d} si et seulement sicite-ref-1[1] P ( X X 1 , . . . , X X n ) = X d P ( X 1 , . . . , X n ) . {\displaystyle P(XX_{1},...,XX_{n})=X^{d}P(X_{1},...,X_{n}).}

L'implication directe provient essentiellement de la commutativité de la multiplication.

Démonstration de la réciproque

En regroupant les termes par degrés, P = ∑ ∑ i = 0 d P i {\displaystyle P=\sum _{i=0}^{d}P_{i}} , avec P i {\displaystyle P_{i}} un polynôme homogène de degré i. L'hypothèse P ( X X 1 , … … , X X n ) = X d P ( X 1 , … … , X n ) {\displaystyle P(XX_{1},\ldots ,XX_{n})=X^{d}P(X_{1},\ldots ,X_{n})} se réécrit alors : ∑ ∑ i = 0 d X i P i ( X 1 , … … , X n ) − − X d P ( X 1 , … … , X n ) = 0 , {\displaystyle \sum _{i=0}^{d}X^{i}P_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})-X^{d}P(X_{1},\ldots ,X_{n})=0,} soit X d ( P d − − P ) + ∑ ∑ i ≠ ≠ d X i P i = 0 {\displaystyle X^{d}(P_{d}-P)+\sum _{i\neq d}X^{i}P_{i}=0} . Ce polynôme est donc nul, en particulier P d − − P = 0 {\displaystyle P_{d}-P=0} , ainsi P = P d {\displaystyle P=P_{d}} est homogène de degré d {\displaystyle d} .

La fonction polynomiale associée à un tel polynôme est donc homogène de degré d, c'est-à-dire que pour tous λ, x1, … , xn de K {\displaystyle K} on a : P ( λ λ x 1 , . . . , λ λ x n ) = λ λ d P ( x 1 , . . . , x n ) . {\displaystyle P(\lambda x_{1},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}P(x_{1},...,x_{n}).} La réciproque n'est alors vraie que si le corps est infini.

L'ensemble des polynômes homogènes de degré d {\displaystyle d} dans K [ X 1 , … … , X n ] {\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]} forme un K-espace vectoriel. (En particulier, le polynôme nul est homogène de degré d {\displaystyle d} , pour tout entier naturel d {\displaystyle d} ; c'est le seul polynôme homogène dont le degré n'est donc pas défini.)

Sa base canonique est l'ensemble des monômes

X

1

α

α

1

X

2

α

α

2

.

.

.

X

n

α

α

n

o

u

`

`

α

α

1

+

α

α

2

+

.

.

.

+

α

α

n

=

d

.

{\displaystyle X_{1}^{\alpha _{1}}X_{2}^{\alpha _{2}}...X_{n}^{\alpha _{n}}~\mathrm {o{\grave {u}}} ~\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}=d.}

Sa dimension est donc le nombre de d-combinaisons avec répétition de l'ensemble { 1 , 2 , … … , n } {\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}} :

Γ

Γ

n

d

=

(

n

+

d

−

−

1

d

)

.

{\displaystyle \Gamma _{n}^{d}={n+d-1 \choose d}.}

Les formes algébriques généralisent les formes quadratiques au degré 3 et plus, et étaient aussi connues par le passé sous le nom de « quintiques ». Pour désigner le type d'une forme, il faut à la fois donner son degré et le nombre de variables n {\displaystyle n} . Une forme est « sur » un corps K {\displaystyle K} , si elle applique K n {\displaystyle K^{n}} dans K {\displaystyle K} .

Une forme f {\displaystyle f} à n {\displaystyle n} variables sur un corps K {\displaystyle K} « représente 0 » s'il existe un élément ( x 1 , … … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})} dans K n {\displaystyle K^{n}} tel que f ( x 1 , … … , x n ) = 0 {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=0} et qu'au moins l'un des x i {\displaystyle x_{i}} ( i = 1 , … … , n ) {\displaystyle (i=1,\dots ,n)} est non nul. Par exemple, une forme quadratique représente 0 si et seulement si elle n'est pas définie.

Une forme de degré d {\displaystyle d} est dite diagonale (en) si elle s'écrit a 1 x 1 d + ⋯ ⋯ + a n x n d {\displaystyle a_{1}x_{1}^{d}+\cdots +a_{n}x_{n}^{d}} .

De même qu'une variété algébrique affine sur K {\displaystyle K} est le lieu d'annulation, dans un espace affine K n {\displaystyle K^{n}} , d'une famille de polynômes à n {\displaystyle n} variables à coefficients dans K {\displaystyle K} , une variété projective sur K {\displaystyle K} est le lieu d'annulation, dans un espace projectif P n ( K ) {\displaystyle P_{n}(K)} , d'une famille de polynômes homogènes à n + 1 {\displaystyle n+1} variables à coefficients dans K {\displaystyle K} .

Par exemple, on peut définir une courbe algébrique affine dans K 2 {\displaystyle K^{2}} comme le lieu d'annulation d'un polynôme à deux variables à coefficients dans K {\displaystyle K} . Si l'on veut définir une courbe algébrique dans le plan projectif P 2 ( K ) {\displaystyle P_{2}(K)} , on voudrait de même la définir comme le lieu d'annulation d'un polynôme P {\displaystyle P} à trois variables. Mais dans le plan projectif, (λx : λy : λz) = (x : y : z), pour tout λ λ ≠ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0} . On veut donc nécessairement que P ( x , y , z ) = 0 ⇔ ⇔ P ( λ λ x , λ λ y , λ λ z ) = 0 {\displaystyle P(x,y,z)=0\Leftrightarrow P(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=0} , pour que le lieu d'annulation ne dépende pas du λ λ {\displaystyle \lambda } choisi. C'est pour cela qu'on demande au polynôme P {\displaystyle P} d'être homogène.

cite-note-11. ↑ lelong-ferrandarnaudi-s1977j-lelong-ferrandj-m-arnaudi-s1977J. Lelong-Ferrand et J.M. Arnaudiès, Cours de mathématiques : Algèbre, t. 1, Dunod université, 1977, p. 153-154.

• Théorème d'Euler (fonctions homogènes), donnant une caractérisation des polynômes homogènes

• Algèbre graduée

• Application multilinéaire

• Série de Molien (en)

(en) C. G. Gibson, Elementary Geometry of Algebraic Curves, Cambridge University Press, 1998

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